di Piero Giuseppe Goletto
Gli antichi egizi avevano cognizioni di geometria che servivano loro sia per costruire le piramidi sia, soprattutto, per ricostruire le proprietà terriere dopo le piene del Nilo.
Il Re Sesostri [ca. 2000 a.C.] distribuì il territorio tra tutti gli egiziani, dando a ciascuno un lotto uguale di forma quadrata. Il tributo dovuto al Re era determinato dagli agrimensori (arpedonapti)
che tirando funi realizzarono le prime costruzioni geometriche: tirare una retta, tirare una perpendicolare, tracciare un cerchio.
Era però una conoscenza empirica, pratica. Conoscenza che venne trasmessa agli antichi Greci e venne resa sistematica dalla figura gigantesca di Euclide.
Euclide visse ad Alessandria d’Egitto intorno al 300 a.C. dove, fortemente voluto da Tolomeo, proseguì i suoi studi e insegnò nel Museo.
Gran parte dell’opera di Euclide consisteva nella riorganizzazione delle scoperte dei matematici greci del periodo classico.
Quella di Euclide è un’opera di 13 libri contenenti 465 teoremi, che non include soltanto risultati di geometria elementare, ma anche di ciò che oggi chiameremmo algebra e teoria dei numeri. L’opera
è organizzata secondo il procedere assiomatico – deduttivo che caratterizzerà da allora in poi la matematica.
La novità enorme di Euclide è costruire le proprie dimostrazioni partendo da cinque postulati e da poche definizioni, senza contraddirle mai.
La geometria euclidea rappresenta dunque un sistema unitario, connesso, basato su oggetti concreti, che si possono rappresentare con riga e compasso.
I cinque postulati di Euclide sono i seguenti:
- Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta;
- Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente;
- Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio;
- Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro;
- Per un punto passa una e una sola retta parallela a una retta data.
Una parte molto importante della geometria euclidea è costituita dai teoremi. Ogni teorema è costituito da tre parti principali: le ipotesi (i dati di partenza, che non si possono contraddire), la tesi (ciò che si deve
dimostrare) e la dimostrazione l’insieme di tutti i ragionamenti utilizzati per confermare, o smentire, la tesi).
E’ interessante notare che i primi quattro postulati che abbiamo prima citato sono considerati sempre veri e pertanto costituiscono la cosiddetta “geometria assoluta”: il termine “geometria assoluta” è emerso quando, nell’Ottocento, molti matematici ipotizzarono la possibilità di realizzare delle geometrie diverse da quella euclidea.
Il quinto postulato di Euclide presentava alcune difficoltà:
Se una linea retta, incontrandone altre due, forma gli angoli interni da una medesima parte minori di due angoli retti, quelle due rette prolungate all’infinito si incontrano dalla parte in cui sono i due angoli minori di due retti”.
Esso coinvolge (anche se implicitamente) il concetto di infinito ed è scritto come un teorema.
Euclide cercò di non utilizzarlo, dimostrando così di non essere inconsapevole di un problema che verrà affrontato per il resto dei secoli e si concluderà con la definizione delle Geometrie non Euclidee.
Gli Elementi sono tuttora, uno dei più importanti libri di geometria mai scritti per loro rigore logico e per il valore didattico. La geometria euclidea è quella “nota” perché coerente con la realtà quotidiana.
Restava però da dirimere la questione del postulato delle parallele.
Il Gesuita Gerolamo Saccheri (1667 – 1733) che insegnava matematica all’università di Pavia era convinto che questo enunciato fosse vero, ma formulò per primo una teoria geometrica nella quale per un punto passano due parallele ad una retta. Questa teoria, meramente matematica, consentiva di esprimere nuovi spazi: la geometria iperbolica di Gauss, Lobacewski, Klein e altri (sulla quale si fonderà tra l’altro la serie di opere “Limite del cerchio” di Escher
la geometria differenziale di Riemann che contribuirà a fornire le basi matematiche alla relatività di Einstein.